A6928 | 拼花带
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题目描述
有一条长度为 $n$ 的长带，需要用两种花带片拼接起来：
红色花带片长度为 $1$；
白色花带片长度为 $k$。
把长度恰好拼到 $n$ 的不同拼法数量记为 $f(n)$。两种拼法不同，当且仅当在某个位置，使用的花带片颜色（或长度）不同。
现在给出若干询问区间 $[a,b]$，对于每个区间，输出:
$$ \sum_{n=a}^b f(n) \pmod {10^9 + 7} $$
红色花带片长度为 $1$；
白色花带片长度为 $k$。
把长度恰好拼到 $n$ 的不同拼法数量记为 $f(n)$。两种拼法不同，当且仅当在某个位置，使用的花带片颜色（或长度）不同。
现在给出若干询问区间 $[a,b]$，对于每个区间，输出:
$$ \sum_{n=a}^b f(n) \pmod {10^9 + 7} $$
输入格式
第一行包含两个整数 $t, k$ —— 询问个数与白色花带片的长度。
接下来 $t$ 行，每行两个整数 $a_i, b_i$，表示一个区间 $[a_i,b_i]$。
接下来 $t$ 行，每行两个整数 $a_i, b_i$，表示一个区间 $[a_i,b_i]$。
输出格式
对于每个询问，输出一行一个整数，表示 $\sum_{n=a_i}^{b_i} f(n)\pmod{10^9+7}$。
输入输出样例
输入 #1
3 3 1 3 2 3 4 6
输出 #1
4 3 13
$1\le t\le 10^5$
$1\le k\le 10^5$
$1\le a_i\le b_i\le 10^5$
对于样例：
当 $k=3$ 时：
$f(0)=1$（空拼法），$f(1)=1$，$f(2)=1$；
$f(3)=f(2)+f(0)=1+1=2$（分别为 1+1+1 和 3）；
$f(4)=f(3)+f(1)=2+1=3$；$f(5)=f(4)+f(2)=3+1=4$；$f(6)=f(5)+f(3)=4+2=6$。
于是：
$\sum_{n=1}^{3} f(n)=1+1+2=4$；
$\sum_{n=2}^{3} f(n)=1+2=3$；
$\sum_{n=4}^{6} f(n)=3+4+6=13$。
$1\le k\le 10^5$
$1\le a_i\le b_i\le 10^5$
对于样例：
当 $k=3$ 时：
$f(0)=1$（空拼法），$f(1)=1$，$f(2)=1$；
$f(3)=f(2)+f(0)=1+1=2$（分别为 1+1+1 和 3）；
$f(4)=f(3)+f(1)=2+1=3$；$f(5)=f(4)+f(2)=3+1=4$；$f(6)=f(5)+f(3)=4+2=6$。
于是：
$\sum_{n=1}^{3} f(n)=1+1+2=4$；
$\sum_{n=2}^{3} f(n)=1+2=3$；
$\sum_{n=4}^{6} f(n)=3+4+6=13$。
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