概率与期望

概率相关概念

1. 德摩根定律

德摩根定律通过事件当集合看，用以解决多个事件的取反问题，例如当我们想求 $n$ 个事件至少有一个发生的结果数，则等价于求 (总结果数 - $n$) 个事件都不发生的结果数。

1.1 核心公式

• $\overline{A\cup B}=\overline A\cap \overline B$ ( $A$ 和 $B$ 并集的补集，等价于 $A$ 的补集和 $B$ 的补集两者的交集)
• $\overline{A\cap B}=\overline A\cup \overline B$ ($A$ 和 $B$ 交集的补集，等价于 $A$ 的补集和 $B$ 的补集两者的并集)

推广到多个事件：

• $\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i}=\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}$ ( 多个事件的并集的补集，等价于各自的补集的交集)
• $\overline{\bigcap_{i=1}^n A_i}=\bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}$ ( 多个事件的交集的补集，等价于各自的补集的并集)



1.2 题目中常用转化



• “至少一个发生”：
- 设事件为 $A_1,\dots,A_n$，则
$$P(\text{至少一个})=1-P(\text{一个都不})=1-P\left(\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}\right)$$
• “都不发生”则更好算，算完再取补集。



2. 古典概型





2.1 适用条件



• 样本空间 有限
• 每个基本结果 等可能



2.2 概率公式



若样本空间大小为 $|\Omega|$，事件 $A$ 的结果数为 $|A|$，也就是发生事件 $A$ 的概率等于发生事件 $A$ 的结果数除以总结果数， 因此古典概型的重点在于结果数的计算：

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$$



2.3 计数工具



• 排列组合（分类计数）
• 补集思想（配合德摩根定律）
• 容斥（见下）



2.4 容斥公式



$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$



3. 几何概型





3.1 适用条件



• 连续取点/取值
• 在某区域内 均匀（等可能意义是“测度均匀”）



3.2 核心公式（测度比）



在区域 $\Omega$ 内均匀取点，事件区域为 $D$，则事件发生的概率为事件区域 $D$ 的测度除以整个区域 $\Omega$ 的测度：

$$P=\frac{\text{Measure}(D)}{\text{Measure}(\Omega)}$$

其中 Measure 可为：

• 一维：长度
• 二维：面积
• 三维：体积



3.3 常见套路



• 随机选 $(x,y)$ 满足 $0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1$
→ 在单位正方形上画出不等式对应的可行域，算面积占比。
• 复杂边界面积可用积分求解：

$$\text{Area}=\int_a^b (y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}})\,dx$$

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4. 条件概率与贝叶斯公式

4.1 条件概率定义

若 $P(B)0$：

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

$P(A\mid B)$ 指事件 $B$ 发生的情况下， 发生 $A$ 的概率。

4.2 乘法公式

$$P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)=P(A)\,P(B\mid A)$$
事件 $A$ 和 $B$ 同时发生的概率，等于先发生 $A$ 的情况下再发生 $B$ 的概率， 也就是二者概率的乘积，同理也等于先发生 $B$ 的情况下再发生 $A$ 的概率.

4.3 独立（很重要的判定）

$A\perp B \iff P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , 当事件 $A$ 是否发生与事件 $B$ 无关，事件 $B$ 是否发生也与事件 $A$ 无关时候，称之为两个事件相独立，此时二者同时发生的概率则为概率的乘积。

等价（当 $P(B)0$）：
$$P(A\mid B)=P(A)$$

4.4 全概率公式

若 $B_1,\dots,B_n$ 两两互斥且 $\bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega$， 那么事件 $A$ 发生的概率为所有 $B_i$ 事件发生的前提下 $A$ 事件发生概率的总和。：

$$P(A)=\sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A\mid B_i)$$

4.5 贝叶斯公式

贝叶斯公式可以由条件概率公式变形得来，我们可以借助已知的 $P(A|B), P(A), P(B)$ 来求解得到 $P(B|A)$。

$$P(A)=P(B)P(A\mid B) / P(B|A)$$



当结合了全概率公式之后，我们会得到下列式子：

$$P(B_k\mid A)=\frac{P(B_k)\,P(A\mid B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A\mid B_i)}$$

期望

事件 $A$ 有多种结果，结果记为 $x$，则 $E(x)$ 表示 $x$ 的期望值，即事件 $A$ 的结果的平均大小 $E(x)=$ 每种结果的大小与各自概率的乘积的和。简单来说，期望就是随机结果的加权平均值，这里的权值即为概率，所以期望计算通常都基于概率的计算。

比如骰子的点数为 $1\sim 6$，出现的概率认为是相同的，则点数期望为 $E(x)=1\times (1/6)+2\times (1/6)+3\times (1/6)+\times (1/6)+\times (1/6)+\times (1/6)=7/2$。



期望的线性性

如果两个事件的结果分别为 $x$ 和 $y$，则两事件结果的和的期望为两事件各自期望的和，即 $E(x+y)=E(x)+E(y)$。根据这个性质，我们可以把一些组合条件分别求解后再组合得到结果。

同样的，两个相互独立事件结果的积的期望为两事件各自期望的积，即 $E(x\times y)=E(x)\times E(y)$。

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