A6733. 「NOI2023」深搜
编程题
NOI/NOI+/CTSC
知识点
题目描述
深度优先搜索是一种常见的搜索算法。通过此算法，我们可以从一个无重边、无自环的无向连通图 $G = (V, E)$，和某个出发点 $s$，得到一棵树 $T$。
算法的流程描述如下:
1. 将栈 $S$ 设置为空，并令 $T = (V, \emptyset)$，即 $T$ 的边集初始为空。
2. 首先将出发点 $s$ 压入 $S$ 中。
3. 访问栈顶节点 $u$，并将 $u$ 标记为「已访问的」。
4. 如果存在与 $u$ 相邻且未被访问的节点，则**任意地**从这些节点中挑选一个记为 $v$。我们将边 $(u, v)$ 加入 $T$ 的边集中，并将 $v$ 压入栈 $S$ 中，然后**回到步骤 3**。若不存在这样的节点，则从栈中弹出节点 $u$。
可以证明，当图 $G$ 为连通图时，该算法会得到图的某一棵生成树 $T$。但**算法得到的树 $T$ 可能不是唯一的，它取决于搜索的顺序，也就是算法的第 4 步所选取的顶点**。指定出发点 $s$ 后，如果能够选取一种特定的搜索顺序，使得算法得到的树恰好是 $T$，则我们称 **$T$ 是 $G$ 的一棵 $s$-dfs 树**。
现在给定一棵 $n$ 个顶点的树 $T$，顶点编号为 $1 \sim n$，并额外给出 $m$ 条边。我们保证这 $m$ 条边两两不同，连接不同的顶点，且与 $T$ 中的 $n - 1$ 条树边两两不同。我们称额外给出的 $m$ 条边为**非树边**。在这 $n$ 个顶点中，我们指定了恰好 $k$ 个顶点作为**关键点**。
现在你想知道，有多少种选取这 $m$ 条非树边的方法（可以全部不选），使得：将 $T$ 的边与被选中的非树边构成图 $G$ 之后，存在某个**关键点** $s$，使得 $T$ 是 $G$ 的一棵 $s$-dfs 树。
由于答案可能十分巨大，你只需要输出方案数在模 $(10 ^ 9 + 7)$ 意义下的值。
算法的流程描述如下:
1. 将栈 $S$ 设置为空，并令 $T = (V, \emptyset)$，即 $T$ 的边集初始为空。
2. 首先将出发点 $s$ 压入 $S$ 中。
3. 访问栈顶节点 $u$，并将 $u$ 标记为「已访问的」。
4. 如果存在与 $u$ 相邻且未被访问的节点，则**任意地**从这些节点中挑选一个记为 $v$。我们将边 $(u, v)$ 加入 $T$ 的边集中，并将 $v$ 压入栈 $S$ 中，然后**回到步骤 3**。若不存在这样的节点，则从栈中弹出节点 $u$。
可以证明，当图 $G$ 为连通图时，该算法会得到图的某一棵生成树 $T$。但**算法得到的树 $T$ 可能不是唯一的，它取决于搜索的顺序，也就是算法的第 4 步所选取的顶点**。指定出发点 $s$ 后，如果能够选取一种特定的搜索顺序，使得算法得到的树恰好是 $T$，则我们称 **$T$ 是 $G$ 的一棵 $s$-dfs 树**。
现在给定一棵 $n$ 个顶点的树 $T$，顶点编号为 $1 \sim n$，并额外给出 $m$ 条边。我们保证这 $m$ 条边两两不同，连接不同的顶点，且与 $T$ 中的 $n - 1$ 条树边两两不同。我们称额外给出的 $m$ 条边为**非树边**。在这 $n$ 个顶点中，我们指定了恰好 $k$ 个顶点作为**关键点**。
现在你想知道，有多少种选取这 $m$ 条非树边的方法（可以全部不选），使得：将 $T$ 的边与被选中的非树边构成图 $G$ 之后，存在某个**关键点** $s$，使得 $T$ 是 $G$ 的一棵 $s$-dfs 树。
由于答案可能十分巨大，你只需要输出方案数在模 $(10 ^ 9 + 7)$ 意义下的值。
输入格式
从文件
输入的第一行包含一个整数 $c$，表示测试点编号。$c = 0$ 表示该测试点为样例。
输入的第二行包含三个正整数 $n, m, k$，分别表示顶点个数，非树边的数量，关键点的数量。
接下来 $n - 1$ 行，每行包含两个正整数 $u, v$ 表示树 $T$ 的一条边。保证这 $n - 1$ 条边构成了一棵树。
接下来 $m$ 行，每行包含两个正整数 $a, b$ 表示一条非树边。保证 $(a, b)$ 不与树上的边重合，且没有重边。
输入的最后一行包含 $k$ 个正整数 $s_1, s_2, \dots, s_k$，表示 $k$ 个关键点的编号。保证 $s_1, s_2, \dots, s_k$ 互不相同。
dfs.in 中读入数据。输入的第一行包含一个整数 $c$，表示测试点编号。$c = 0$ 表示该测试点为样例。
输入的第二行包含三个正整数 $n, m, k$，分别表示顶点个数，非树边的数量，关键点的数量。
接下来 $n - 1$ 行，每行包含两个正整数 $u, v$ 表示树 $T$ 的一条边。保证这 $n - 1$ 条边构成了一棵树。
接下来 $m$ 行，每行包含两个正整数 $a, b$ 表示一条非树边。保证 $(a, b)$ 不与树上的边重合，且没有重边。
输入的最后一行包含 $k$ 个正整数 $s_1, s_2, \dots, s_k$，表示 $k$ 个关键点的编号。保证 $s_1, s_2, \dots, s_k$ 互不相同。
输出格式
输出到文件
输出一行包含一个非负整数，表示方案数在模 $(10 ^ 9 + 7)$ 意义下的值。
dfs.out 中。输出一行包含一个非负整数，表示方案数在模 $(10 ^ 9 + 7)$ 意义下的值。
输入输出样例
输入 #1
0 4 2 2 1 2 2 3 3 4 1 3 2 4 2 3
输出 #1
3
说明/提示
对于所有测试数据保证：$1 \le k \le n \le 5 \times 10 ^ 5$，$1 \le m \le 5 \times 10 ^ 5$。
|测试点编号|$n \le$|$m \le$|$k \le$|特殊性质|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$1 \sim 3$|$6$|$6$|$n$|无|
|$4 \sim 6$|$15$|$15$|$6$|无|
|$7 \sim 9$|$300$|$300$|$6$|无|
|$10 \sim 11$|$300$|$300$|$n$|A|
|$12 \sim 13$|$300$|$300$|$n$|B|
|$14 \sim 16$|$300$|$300$|$n$|无|
|$17 \sim 18$|$2 \times 10 ^ 5$|$2 \times 10 ^ 5$|$n$|A|
|$19 \sim 21$|$2 \times 10 ^ 5$|$2 \times 10 ^ 5$|$n$|B|
|$22$|$2 \times 10 ^ 5$|$2 \times 10 ^ 5$|$n$|无|
|$23 \sim 25$|$5 \times 10 ^ 5$|$5 \times 10 ^ 5$|$n$|无|
特殊性质 A：保证在 $T$ 中，$i$ 号点与 $i + 1$ 号点相连（$1 \le i < n$）。
特殊性质 B：保证若将 $T$ 的边与所有 $m$ 条非树边构成一个图 $G$，则 $T$ 是 $G$ 的棵 $1$-dfs 树。
**请注意，$1$ 号点不一定是 $k$ 个关键点之一。**
|测试点编号|$n \le$|$m \le$|$k \le$|特殊性质|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$1 \sim 3$|$6$|$6$|$n$|无|
|$4 \sim 6$|$15$|$15$|$6$|无|
|$7 \sim 9$|$300$|$300$|$6$|无|
|$10 \sim 11$|$300$|$300$|$n$|A|
|$12 \sim 13$|$300$|$300$|$n$|B|
|$14 \sim 16$|$300$|$300$|$n$|无|
|$17 \sim 18$|$2 \times 10 ^ 5$|$2 \times 10 ^ 5$|$n$|A|
|$19 \sim 21$|$2 \times 10 ^ 5$|$2 \times 10 ^ 5$|$n$|B|
|$22$|$2 \times 10 ^ 5$|$2 \times 10 ^ 5$|$n$|无|
|$23 \sim 25$|$5 \times 10 ^ 5$|$5 \times 10 ^ 5$|$n$|无|
特殊性质 A：保证在 $T$ 中，$i$ 号点与 $i + 1$ 号点相连（$1 \le i < n$）。
特殊性质 B：保证若将 $T$ 的边与所有 $m$ 条非树边构成一个图 $G$，则 $T$ 是 $G$ 的棵 $1$-dfs 树。
**请注意，$1$ 号点不一定是 $k$ 个关键点之一。**