A1536. [CSP-J 2023] 一元二次方程
编程题
普及/提高-
知识点
题目描述
## 题目背景
众所周知，对一元二次方程 $ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)$，可以用以下方式求实数解：
- 计算 $\Delta = b ^ 2 - 4ac$，则:
1. 若 $\Delta < 0$，则该一元二次方程无实数解。
2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 $x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}$。
例如：
- $x ^ 2 + x + 1 = 0$ 无实数解，因为 $\Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$。
- $x ^ 2 - 2x + 1 = 0$ 有两相等实数解 $x _ {1, 2} = 1$。
- $x ^ 2 - 3x + 2 = 0$ 有两互异实数解 $x _ 1 = 1, x _ 2 = 2$。
在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd(a, b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd(12, 18) = 6$。
## 题目描述
现在给定一个一元二次方程的系数 $a, b, c$，其中 $a, b, c$ **均为整数且 $a \neq 0$**。你需要判断一元二次方程 $a x ^ 2 + bx + c = 0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。
**在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则：**
- 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$，满足 $q > 0$，$\gcd(p, q) = 1$ 且 $v = \frac pq$。
- 若 $q = 1$，**则输出
- 例如：
- 当 $v = -0.5$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出
- 当 $v = 0$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出
**对于方程的求解，分两种情况讨论：**
1. 若 $\Delta = b ^ 2 - 4ac < 0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出
2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $x$，则：
1. 若 $x$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $x$。
2. 否则根据上文公式，$x$ 可以被**唯一**表示为 $x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r$ 的形式，其中：
- $q _ 1, q _ 2$ 为有理数，且 $q _ 2 > 0$；
- $r$ 为正整数且 $r > 1$，且不存在正整数 $d > 1$ 使 $d ^ 2 \mid r$（即 $r$ 不应是 $d ^ 2$ 的倍数）；
此时：
1. 若 $q _ 1 \neq 0$，则按有理数的格式输出 $q _ 1$，并再输出一个加号
2. 否则跳过这一步输出；
随后：
1. 若 $q _ 2 = 1$，则输出
2. 否则若 $q _ 2$ 为整数，则输出
3. 否则若 $q _ 3 = \frac 1{q _ 2}$ 为整数，则输出
4. 否则可以证明存在唯一整数 $c, d$ 满足 $c, d > 1, \gcd(c, d) = 1$ 且 $q _ 2 = \frac cd$，此时输出
上述表示中
如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出
众所周知，对一元二次方程 $ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)$，可以用以下方式求实数解：
- 计算 $\Delta = b ^ 2 - 4ac$，则:
1. 若 $\Delta < 0$，则该一元二次方程无实数解。
2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 $x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}$。
例如：
- $x ^ 2 + x + 1 = 0$ 无实数解，因为 $\Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$。
- $x ^ 2 - 2x + 1 = 0$ 有两相等实数解 $x _ {1, 2} = 1$。
- $x ^ 2 - 3x + 2 = 0$ 有两互异实数解 $x _ 1 = 1, x _ 2 = 2$。
在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd(a, b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd(12, 18) = 6$。
## 题目描述
现在给定一个一元二次方程的系数 $a, b, c$，其中 $a, b, c$ **均为整数且 $a \neq 0$**。你需要判断一元二次方程 $a x ^ 2 + bx + c = 0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。
**在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则：**
- 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$，满足 $q > 0$，$\gcd(p, q) = 1$ 且 $v = \frac pq$。
- 若 $q = 1$，**则输出
{p}，否则输出 {p}/{q}**，其中 {n} 代表整数 $n$ 的值；- 例如：
- 当 $v = -0.5$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出
-1/2；- 当 $v = 0$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出
0。**对于方程的求解，分两种情况讨论：**
1. 若 $\Delta = b ^ 2 - 4ac < 0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出
NO；2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $x$，则：
1. 若 $x$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $x$。
2. 否则根据上文公式，$x$ 可以被**唯一**表示为 $x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r$ 的形式，其中：
- $q _ 1, q _ 2$ 为有理数，且 $q _ 2 > 0$；
- $r$ 为正整数且 $r > 1$，且不存在正整数 $d > 1$ 使 $d ^ 2 \mid r$（即 $r$ 不应是 $d ^ 2$ 的倍数）；
此时：
1. 若 $q _ 1 \neq 0$，则按有理数的格式输出 $q _ 1$，并再输出一个加号
+；2. 否则跳过这一步输出；
随后：
1. 若 $q _ 2 = 1$，则输出
sqrt({r})；2. 否则若 $q _ 2$ 为整数，则输出
{q2}*sqrt({r})；3. 否则若 $q _ 3 = \frac 1{q _ 2}$ 为整数，则输出
sqrt({r})/{q3}；4. 否则可以证明存在唯一整数 $c, d$ 满足 $c, d > 1, \gcd(c, d) = 1$ 且 $q _ 2 = \frac cd$，此时输出
{c}*sqrt({r})/{d}；上述表示中
{n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出
NO。输入格式
输入的第一行包含两个正整数 $T, M$，分别表示方程数和系数的绝对值上限。
接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $a, b, c$。
接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $a, b, c$。
输出格式
输出 $T$ 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。
**每行输出的字符串中间不应包含任何空格**。
**每行输出的字符串中间不应包含任何空格**。
输入输出样例
输入 #1
9 1000 1 -1 0 -1 -1 -1 1 -2 1 1 5 4 4 4 1 1 0 -432 1 -3 1 2 -4 1 1 7 1
输出 #1
1 NO 1 -1 -1/2 12*sqrt(3) 3/2+sqrt(5)/2 1+sqrt(2)/2 -7/2+3*sqrt(5)/2
说明/提示
**【数据范围】**
对于所有数据有：$1 \leq T \leq 5000$，$1 \leq M \leq 10 ^ 3$，$|a|,|b|,|c| \leq M$，$a \neq 0$。
| 测试点编号 | $M \leq$ | 特殊性质 A | 特殊性质 B | 特殊性质 C |
| :-: | :-: | :-: | :-:| :-:|
| $1$ | $1$ | 是 | 是 | 是 |
| $2$ | $20$ | 否 | 否 | 否 |
| $3$ | $10 ^ 3$ | 是 | 否 | 是 |
| $4$ | $10 ^ 3$ | 是 | 否 | 否 |
| $5$ | $10 ^ 3$ | 否 | 是 | 是 |
| $6$ | $10 ^ 3$ | 否 | 是 | 否 |
| $7, 8$ | $10 ^ 3$ | 否 | 否 | 是 |
| $9, 10$ | $10 ^ 3$ | 否 | 否 | 否 |
其中：
- 特殊性质 A：保证 $b = 0$；
- 特殊性质 B：保证 $c = 0$；
- 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。
输入文件名：uqe.in
输出文件名：uqe.out
对于所有数据有：$1 \leq T \leq 5000$，$1 \leq M \leq 10 ^ 3$，$|a|,|b|,|c| \leq M$，$a \neq 0$。
| 测试点编号 | $M \leq$ | 特殊性质 A | 特殊性质 B | 特殊性质 C |
| :-: | :-: | :-: | :-:| :-:|
| $1$ | $1$ | 是 | 是 | 是 |
| $2$ | $20$ | 否 | 否 | 否 |
| $3$ | $10 ^ 3$ | 是 | 否 | 是 |
| $4$ | $10 ^ 3$ | 是 | 否 | 否 |
| $5$ | $10 ^ 3$ | 否 | 是 | 是 |
| $6$ | $10 ^ 3$ | 否 | 是 | 否 |
| $7, 8$ | $10 ^ 3$ | 否 | 否 | 是 |
| $9, 10$ | $10 ^ 3$ | 否 | 否 | 否 |
其中：
- 特殊性质 A：保证 $b = 0$；
- 特殊性质 B：保证 $c = 0$；
- 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。
输入文件名：uqe.in
输出文件名：uqe.out