A5011 | $[CSP-S 2022] 数据传输$

来源CSP-S / 2022

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题目描述

小 C 正在设计计算机网络中的路由系统。 测试用的网络总共有 $n$ 台主机，依次编号为 $1 \sim n$。这 $n$ 台主机之间由 $n - 1$ 根网线连接，第 $i$ 条网线连接个主机 $a_i$ 和 $b_i$。保证任意两台主机可以通过有限根网线直接或者间接地相连。受制于信息发送的功率，主机 $a$ 能够直接将信息传输给主机 $b$ 当且仅当两个主机在可以通过不超过 $k$ 根网线直接或者间接的相连。 在计算机网络中，数据的传输往往需要通过若干次转发。假定小 C 需要将数据从主机 $a$ 传输到主机 $b$（$a \neq b$），则其会选择出若干台用于传输的主机 $c_1 = a, c_2, \ldots, c_{m - 1}, c_m = b$，并按照如下规则转发：对于所有的 $1 \le i m$，主机 $c_i$ 将信息直接发送给 $c_{i + 1}$。 每台主机处理信息都需要一定的时间，第 $i$ 台主机处理信息需要 $v_i$ 单位的时间。数据在网络中的传输非常迅速，因此传输的时间可以忽略不计。据此，上述传输过程花费的时间为 $\sum_{i = 1}^{m} v_{c_i}$。 现在总共有 $q$ 次数据发送请求，第 $i$ 次请求会从主机 $s_i$ 发送数据到主机 $t_i$。小 C 想要知道，对于每一次请求至少需要花费多少单位时间才能完成传输。

输入的第一行包含三个正整数 $n, Q, k$，分别表示网络主机个数，请求个数，传输参数。数据保证 $1 \le n \le 2 \times {10}^5$，$1 \le Q \le 2 \times {10}^5$，$1 \le k \le 3$。 输入的第二行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个正整数表示 $v_i$，保证 $1 \le v_i \le {10}^9$。 接下来 $n - 1$ 行，第 $i$ 行包含两个正整数 $a_i, b_i$，表示一条连接主机 $a_i, b_i$ 的网线。保证 $1 \le a_i, b_i \le n$。 接下来 $Q$ 行，第 $i$ 行包含两个正整数 $s_i, t_i$，表示一次从主机 $s_i$ 发送数据到主机 $t_i$ 的请求。保证 $1 \le s_i, t_i \le n$，$s_i \ne t_i$。

$Q$ 行，每行一个正整数，表示第 $i$ 次请求在传输的时候至少需要花费多少单位的时间。

输入 #1

7 3 3
1 2 3 4 5 6 7
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
4 7
5 6
1 2

输出 #1

12
12
3

【样例解释 \#1】 对于第一组请求，由于主机 $4, 7$ 之间需要至少 $4$ 根网线才能连接，因此数据无法在两台主机之间直接传输，其至少需要一次转发；我们让其在主机 $1$ 进行一次转发，不难发现主机 $1$ 和主机 $4, 7$ 之间都只需要两根网线即可连接，且主机 $1$ 的数据处理时间仅为 $1$，为所有主机中最小，因此最少传输的时间为 $4 + 1 + 7 = 12$。 对于第三组请求，由于主机 $1, 2$ 之间只需要 $1$ 根网线就能连接，因此数据直接传输就是最优解，最少传输的时间为 $1 + 2 = 3$。 【数据范围】 对于所有的测试数据，满足 $1 \le n \le 2 \times {10}^5$，$1 \le Q \le 2 \times {10}^5$，$1 \le k \le 3$，$1 \le a_i, b_i \le n$，$1 \le s_i, t_i \le n$，$s_i \ne t_i$。 测试点$n \le$$Q \le$$k =$特殊性质$1$$10$$10$$2$是$2$$10$$10$$3$是$3$$200$$200$$2$是$4 \sim 5$$200$$200$$3$是$6 \sim 7$$2000$$2000$$1$否$8 \sim 9$$2000$$2000$$2$否$10 \sim 11$$2000$$2000$$3$否$12 \sim 13$$2 \times {10}^5$$2 \times {10}^5$$1$否$14$$5 \times {10}^4$$5 \times {10}^4$$2$是$15 \sim 16$${10}^5$${10}^5$$2$是$17 \sim 19$$2 \times {10}^5$$2 \times {10}^5$$2$否$20$$5 \times {10}^4$$5 \times {10}^4$$3$是$21 \sim 22$${10}^5$${10}^5$$3$是$23 \sim 25$$2 \times {10}^5$$2 \times {10}^5$$3$否 特殊性质：保证 $a_i = i + 1$，而 $b_i$ 则从 $1, 2, \ldots, i$ 中等概率选取。

测试点	$n \le$	$Q \le$	$k =$	特殊性质
$1$	$10$	$10$	$2$	是
$2$	$10$	$10$	$3$	是
$3$	$200$	$200$	$2$	是
$4 \sim 5$	$200$	$200$	$3$	是
$6 \sim 7$	$2000$	$2000$	$1$	否
$8 \sim 9$	$2000$	$2000$	$2$	否
$10 \sim 11$	$2000$	$2000$	$3$	否
$12 \sim 13$	$2 \times {10}^5$	$2 \times {10}^5$	$1$	否
$14$	$5 \times {10}^4$	$5 \times {10}^4$	$2$	是
$15 \sim 16$	${10}^5$	${10}^5$	$2$	是
$17 \sim 19$	$2 \times {10}^5$	$2 \times {10}^5$	$2$	否
$20$	$5 \times {10}^4$	$5 \times {10}^4$	$3$	是
$21 \sim 22$	${10}^5$	${10}^5$	$3$	是
$23 \sim 25$	$2 \times {10}^5$	$2 \times {10}^5$	$3$	否

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输出