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题单练习 2026年3月GESP编程题
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A7275 | [GESP202603 八级] 子图最短路

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题目描述

给定包含 $n$ 个结点 $m$ 条边的带权无向图 $G$，结点依次以 $1, 2, \dots, n$ 编号。第 $i$ ($1 \le i \le m$) 条边连接编号为 $u_i$ 与 $v_i$ 的两个结点，权值为 $w_i$。

对于指定的 $1 \le \ell \le r \le n$，按以下方式构造图 $G$ 的子图 $G(\ell, r)$：

  • 保留 $G$ 中编号在区间 $[\ell, r]$ 中的结点。删去其它编号不在 $[\ell, r]$ 中的结点以及与之相连的边。剩余的结点和边构成子图 $G(\ell, r)$。

    • 对于 $G(\ell, r)$ 中的任意结点 $u, v$ 应有 $\ell \le u, v \le r$。记 $u, v$ 在子图 $G(\ell, r)$ 上的最短距离为 $d(\ell, r, u, v)$。特殊地，若 $u, v$ 在子图 $G(\ell, r)$ 上不连通，则认为 $d(\ell, r, u, v) = 0$。

    你需要求出 $\sum_{\ell=1}^{n} \sum_{r=\ell}^{n} \sum_{u=\ell}^{r} \sum_{v=u}^{r} d(\ell, r, u, v)$ 对 $10^9$ 取模的结果。
  • 题目中的英文字母 $l$ 使用了特殊写法 $\ell$，以避免英文字母 $l$ 与数字 $1$ 混淆。

输入格式

第一行，两个正整数 $n, m$，表示结点数与边数。

接下来 $m$ 行，第 $i$ ($1 \le i \le m$) 行包含三个正整数 $u_i, v_i, w_i$，表示一条连接结点 $u_i, v_i$ 的权值为 $w_i$ 的边。

输出格式

输出一行，一个整数，表示 $\sum_{\ell=1}^{n} \sum_{r=\ell}^{n} \sum_{u=\ell}^{r} \sum_{v=u}^{r} d(\ell, r, u, v)$ 对 $10^9$ 取模的结果。

输入输出样例

输入 #1
3 2
1 2 1
2 3 2
输出 #1
9
输入 #2
4 6
1 2 100
2 3 100
3 4 100
1 3 10
2 4 10
1 4 1
输出 #2
784
C++ 编辑器
输入
输出