A6573. 「NOIP2018」赛道修建
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知识点
题目描述
C 城将要举办一系列的赛车比赛。在比赛前，需要在城内修建 $m$ 条赛道。
C 城一共有 $n$ 个路口，这些路口编号为 $1,2, \cdots , n$，有 $n − 1$ 条适合于修建赛道的双向通行的道路，每条道路连接着两个路口。其中，第 $i$ 条道路连接的两个路口编号为 $a_i$ 和 $b_i$，该道路的长度为 $l_i$。借助这 $n − 1$ 条道路，从任何一个路口出发都能到达其他所有的路口。
一条赛道是一组互不相同的道路 $e_1, e_2, \cdots , e_k$，满足可以从某个路口出发，依次经过道路 $e_1, e_2, \cdots , e_k$（每条道路经过一次，不允许调头）到达另一个路口。一条赛道的长度等于经过的各道路的长度之和。为保证安全，要求每条道路至多被一条赛道经过。
目前赛道修建的方案尚未确定。你的任务是设计一种赛道修建的方案，使得修建的 $m$ 条赛道中长度最小的赛道长度最大（即 $m$ 条赛道中最短赛道的长度尽可能大）。
C 城一共有 $n$ 个路口，这些路口编号为 $1,2, \cdots , n$，有 $n − 1$ 条适合于修建赛道的双向通行的道路，每条道路连接着两个路口。其中，第 $i$ 条道路连接的两个路口编号为 $a_i$ 和 $b_i$，该道路的长度为 $l_i$。借助这 $n − 1$ 条道路，从任何一个路口出发都能到达其他所有的路口。
一条赛道是一组互不相同的道路 $e_1, e_2, \cdots , e_k$，满足可以从某个路口出发，依次经过道路 $e_1, e_2, \cdots , e_k$（每条道路经过一次，不允许调头）到达另一个路口。一条赛道的长度等于经过的各道路的长度之和。为保证安全，要求每条道路至多被一条赛道经过。
目前赛道修建的方案尚未确定。你的任务是设计一种赛道修建的方案，使得修建的 $m$ 条赛道中长度最小的赛道长度最大（即 $m$ 条赛道中最短赛道的长度尽可能大）。
输入格式
输入文件名为
输入文件第一行包含两个由空格分隔的正整数 $n,m$，分别表示路口数及需要修建的赛道数。
接下来 $n − 1$ 行，第 $i$ 行包含三个正整数 $a_i,b_i,l_i$，表示第 $i$ 条适合于修建赛道的道路连接的两个路口编号及道路长度。保证任意两个路口均可通过这 $n − 1$ 条道路相互到达。每行中相邻两数之间均由一个空格分隔。
track.in。 输入文件第一行包含两个由空格分隔的正整数 $n,m$，分别表示路口数及需要修建的赛道数。
接下来 $n − 1$ 行，第 $i$ 行包含三个正整数 $a_i,b_i,l_i$，表示第 $i$ 条适合于修建赛道的道路连接的两个路口编号及道路长度。保证任意两个路口均可通过这 $n − 1$ 条道路相互到达。每行中相邻两数之间均由一个空格分隔。
输出格式
输出文件名为
输出共一行，包含一个整数，表示长度最小的赛道长度的最大值。
track.out。 输出共一行，包含一个整数，表示长度最小的赛道长度的最大值。
输入输出样例
输入 #1
7 1 1 2 10 1 3 5 2 4 9 2 5 8 3 6 6 3 7 7
输出 #1
31
输入 #2
9 3 1 2 6 2 3 3 3 4 5 4 5 10 6 2 4 7 2 9 8 4 7 9 4 4
输出 #2
15
说明/提示
所有测试数据的范围和特点如下表所示：
<!-- BEGIN: Migrated markdown table -->
| 测试点编号 | $n$ | $m$ | $a_i=1$ | $b_i=a_i+1$ | 分支不超过 $3$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| $1$ | $\le 5$ | $=1$ | 否 | 否 | 是 |
| $2$ | $\le 10$ | $\le n-1$ | 否 | 是 | 是 |
| $3$ | $\le 15$ | $\le n-1$ | 是 | 否 | 否 |
| $4$ | $\le 10^3$ | $=1$ | 否 | 否 | 是 |
| $5$ | $\le 3\times 10^4$ | $=1$ | 是 | 否 | 否 |
| $6$ | $\le 3\times 10^4$ | $=1$ | 否 | 否 | 否 |
| $7$ | $\le 3\times 10^4$ | $\le n-1$ | 是 | 否 | 否 |
| $8$ | $\le 5\times 10^4$ | $\le n-1$ | 是 | 否 | 否 |
| $9$ | $\le 10^3$ | $\le n-1$ | 否 | 是 | 是 |
| $10$ | $\le 3\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 是 | 是 |
| $11$ | $\le 5\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 是 | 是 |
| $12$ | $\le 50$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $13$ | $\le 50$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $14$ | $\le 200$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $15$ | $\le 200$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $16$ | $\le 10^3$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $17$ | $\le 10^3$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 否 |
| $18$ | $\le 3\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 否 |
| $19$ | $\le 3\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 否 |
| $20$ | $\le 5\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 否 |
<!-- Migrated from original HTML table:
<table><thead>
<tr>
<th style='text-align:center'>测试点编号 </th>
<th style='text-align:center'>$n$ </th>
<th style='text-align:center'>$m$ </th>
<th style='text-align:center'>$a_i=1$ </th>
<th style='text-align:center'>$b_i=a_i+1$ </th>
<th style='text-align:center'>分支不超过 $3$ </th>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$1$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 5$ </td>
<td style='text-align:center'>$=1$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">否 </td>
<td style='text-align:center'>否 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$2$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 10$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le n-1$ </td>
<td style='text-align:center'>是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$3$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 15$ </td>
<td style='text-align:center'>是 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="6">否 </td>
<td style='text-align:center'>否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$4$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 10^3$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="3">$=1$ </td>
<td style='text-align:center'>否 </td>
<td style='text-align:center'>是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$5$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="3">$\le 3\times 10^4$ </td>
<td style='text-align:center'>是 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="4">否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$6$ </td>
<td style='text-align:center'>否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$7$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="14">$\le n-1$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$8$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 5\times 10^4$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$9$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 10^3$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="12">否 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="3">是 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="8">是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$10$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 3\times 10^4$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$11$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 5\times 10^4$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$12$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le 50$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="9">否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$13$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$14$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le 200$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$15$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$16$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le 10^3$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$17$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="4">否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$18$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le 3\times 10^4$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$19$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$20$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 5\times 10^4$ </td>
</tr>
</table>
-->
<!-- END: Migrated markdown table -->
其中，「分支不超过 $3$」的含义为：每个路口至多有 $3$ 条道路与其相连。
对于所有的数据，$2 \le n \le 5\times 10^4, \ 1 \le m \le n − 1,\ 1 \le a_i,b_i \le n,\ 1 \le l_i \le 10^4$。
<!-- BEGIN: Migrated markdown table -->
| 测试点编号 | $n$ | $m$ | $a_i=1$ | $b_i=a_i+1$ | 分支不超过 $3$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| $1$ | $\le 5$ | $=1$ | 否 | 否 | 是 |
| $2$ | $\le 10$ | $\le n-1$ | 否 | 是 | 是 |
| $3$ | $\le 15$ | $\le n-1$ | 是 | 否 | 否 |
| $4$ | $\le 10^3$ | $=1$ | 否 | 否 | 是 |
| $5$ | $\le 3\times 10^4$ | $=1$ | 是 | 否 | 否 |
| $6$ | $\le 3\times 10^4$ | $=1$ | 否 | 否 | 否 |
| $7$ | $\le 3\times 10^4$ | $\le n-1$ | 是 | 否 | 否 |
| $8$ | $\le 5\times 10^4$ | $\le n-1$ | 是 | 否 | 否 |
| $9$ | $\le 10^3$ | $\le n-1$ | 否 | 是 | 是 |
| $10$ | $\le 3\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 是 | 是 |
| $11$ | $\le 5\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 是 | 是 |
| $12$ | $\le 50$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $13$ | $\le 50$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $14$ | $\le 200$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $15$ | $\le 200$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $16$ | $\le 10^3$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 是 |
| $17$ | $\le 10^3$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 否 |
| $18$ | $\le 3\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 否 |
| $19$ | $\le 3\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 否 |
| $20$ | $\le 5\times 10^4$ | $\le n-1$ | 否 | 否 | 否 |
<!-- Migrated from original HTML table:
<table><thead>
<tr>
<th style='text-align:center'>测试点编号 </th>
<th style='text-align:center'>$n$ </th>
<th style='text-align:center'>$m$ </th>
<th style='text-align:center'>$a_i=1$ </th>
<th style='text-align:center'>$b_i=a_i+1$ </th>
<th style='text-align:center'>分支不超过 $3$ </th>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$1$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 5$ </td>
<td style='text-align:center'>$=1$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">否 </td>
<td style='text-align:center'>否 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$2$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 10$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le n-1$ </td>
<td style='text-align:center'>是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$3$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 15$ </td>
<td style='text-align:center'>是 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="6">否 </td>
<td style='text-align:center'>否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$4$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 10^3$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="3">$=1$ </td>
<td style='text-align:center'>否 </td>
<td style='text-align:center'>是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$5$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="3">$\le 3\times 10^4$ </td>
<td style='text-align:center'>是 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="4">否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$6$ </td>
<td style='text-align:center'>否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$7$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="14">$\le n-1$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$8$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 5\times 10^4$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$9$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 10^3$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="12">否 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="3">是 </td>
<td style='text-align:center' rowspan="8">是 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$10$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 3\times 10^4$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$11$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 5\times 10^4$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$12$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le 50$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="9">否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$13$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$14$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le 200$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$15$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$16$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le 10^3$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$17$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="4">否 </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$18$ </td>
<td style='text-align:center' rowspan="2">$\le 3\times 10^4$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$19$ </td>
</tr>
<tr>
<td style='text-align:center'>$20$ </td>
<td style='text-align:center'>$\le 5\times 10^4$ </td>
</tr>
</table>
-->
<!-- END: Migrated markdown table -->
其中，「分支不超过 $3$」的含义为：每个路口至多有 $3$ 条道路与其相连。
对于所有的数据，$2 \le n \le 5\times 10^4, \ 1 \le m \le n − 1,\ 1 \le a_i,b_i \le n,\ 1 \le l_i \le 10^4$。