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题库练习「NOI2018」冒泡排序

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A6546 | $「NOI2018」冒泡排序$

来源NOI

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题目描述

最近，小 S 对冒泡排序产生了浓厚的兴趣。为了问题简单，小 S 只研究对 **$1$ 到 $n$ 的排列**的冒泡排序。 下面是对冒泡排序的算法描述。 ```plain 输入：一个长度为 n 的排列 p[1...n] 输出：p 排序后的结果。 for i = 1 to n do for j = 1 to n - 1 do if(p[j] > p[j + 1]) 交换 p[j] 与 p[j + 1] 的值 ``` 冒泡排序的交换次数被定义为交换过程的执行次数。可以证明交换次数的一个下界是 $\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$，其中 $p_i$ 是排列 $p$ 中第 $i$ 个位置的数字。如果你对证明感兴趣，可以看提示。 小 S 开始专注于研究长度为 $n$ 的排列中，满足交换次数 $= \frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$ 的排列（在后文中，为了方便，我们把所有这样的排列叫「好」的排列）。他进一步想，这样的排列到底多不多？它们分布的密不密集？ 小 S 想要对于一个给定的长度为 $n$ 的排列 $q$，计算字典序严格大于 $q$ 的“好”的排列个数。但是他不会做，于是求助于你，希望你帮他解决这个问题，考虑到答案可能会很大，因此只需输出答案对 $998244353$ 取模的结果。

输入格式

从文件 inverse.in 读入数据。 输入第一行包含一个正整数 $T$，表示数据组数。 对于每组数据，第一行有一个正整数 $n$，保证 $n \leq 6 \times 10^5$。 接下来一行会输入 $n$ 个正整数，对应于题目描述中的 $q_i$，保证输入的是一个 $1$ 到 $n$ 的排列。

输出格式

输出到文件 inverse.out 中。 输出共 $T$ 行，每行一个整数。 对于每组数据，输出一个整数，表示字典序严格大于 $q$ 的「好」的排列个数对 $998244353$ 取模的结果。

输入输出样例

输入 #1

1
3
1 3 2

输出 #1

输入 #2

1
4
1 4 2 3

输出 #2

下面是对本题每个测试点的输入规模的说明。 对于所有数据，均满足 $T = 5$（样例可能不满足）。 记 $n_\mathrm{max}$ 表示每组数据中 $n$ 的最大值，$\sum n$ 表示所有数据的 $n$ 的和。 <!-- BEGIN: Migrated markdown table --> | 测试点 | $n_\mathrm{max} =$ | $\sum n \leq$ | 特殊性质 | |:-:|:-:|:-:|:-:| | 1 | $8$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 2 | $9$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 3 | $10$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 4 | $12$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 5 | $13$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 6 | $14$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 7 | $16$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 8 | $16$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 9 | $17$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 10 | $18$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 11 | $18$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 | | 12 | $122$ | $700$ | $\forall i \enspace q_i = i$ | | 13 | $144$ | $700$ | 无 | | 14 | $166$ | $700$ | 无 | | 15 | $200$ | $700$ | 无 | | 16 | $233$ | $700$ | 无 | | 17 | $777$ | $4000$ | $\forall i \enspace q_i = i$ | | 18 | $888$ | $4000$ | 无 | | 19 | $933$ | $4000$ | 无 | | 20 | $1000$ | $4000$ | 无 | | 21 | $266666$ | $2000000$ | $\forall i \enspace q_i = i$ | | 22 | $333333$ | $2000000$ | 无 | | 23 | $444444$ | $2000000$ | 无 | | 24 | $555555$ | $2000000$ | 无 | | 25 | $600000$ | $2000000$ | 无 | #### 「提示」 下面是对交换次数下界是 $\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$ 的证明。 排序本质上就是数字的移动，因此排序的交换次数应当可以用数字移动的总距离来描述。对于第 $i$ 个位置，假设在初始排列中，这个位置上的数字是 pi，那么我们需要将这个数字移动到第 $p_i$ 个位置上，移动的距离是 $\lvert i - p_i \rvert$。从而移动的总距离就是 $\sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$，而冒泡排序每次会交换两个相邻的数字，每次交换可以使移动的总距离至多减少 $2$。因此 $\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$ 是冒泡排序的交换次数的下界。 并不是所有的排列都达到了下界，比如在 $n = 3$ 的时候，考虑排列 $3 \ 2 \ 1$，这个排列进行冒泡排序以后的交换次数是 $3$，但是 $\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$ 只有 $2$。

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输入

输出