A6489 | [NOIP2025] 清仓甩卖
来源NOIP提高组 / 2025
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题目描述
NOIP2025 T2
小 X 的糖果促销策略很成功，现在糖果店只剩下了 $n$ 颗糖果，其中第 $i$ ($1 \le i \le n$) 颗糖果的原价为 $a_i$ 元。小 X 计划将它们全部重新定价，清仓甩卖。具体地，小 X 会将每颗糖果的清仓价格分别定为 1 元或 2 元。设第 $i$ ($1 \le i \le n$) 颗糖果的清仓价格为 $w_i \in \{1,2\}$ 元，则它的**性价比**被定义为原价与清仓价格的比值，即 $\frac{a_i}{w_i}$。
小 R 又带了 $m$ 元钱买糖果。这一次，小 R 希望他购买到的糖果的原价总和最大，于是他采用了以下购买策略：将所有糖果按照**性价比从大到小排序**，然后依次考虑每一颗糖果。具体地，若小 R 在考虑第 $i$ ($1 \le i \le n$) 颗糖果时剩余的钱至少为 $w_i$ 元，则他会购买这颗糖果；否则他会跳过这颗糖果，继续考虑下一颗。特别地，若存在两颗糖果的性价比相同，则小 R 会先考虑**原价较高**的糖果；若存在两颗糖果的性价比与原价均相同，则小 R 会先考虑编号较小的糖果。
例如，若小 X 的糖果商店剩余 3 颗糖果，原价分别为 $a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=5$，而清仓价格分别为 $w_1=w_2=1$，$w_3=2$，则性价比分别为 $1, 3, \frac{5}{2}$。因此小 R 会先考虑第 2 颗糖果，然后考虑第 3 颗糖果，最后考虑第 1 颗糖果。
小 R 想知道，在小 X 的所有 $2^n$ 种定价方案中，有多少种定价方案使得他按照上述购买策略能购买到的糖果的**原价总和最大**。你需要帮助小 R 求出满足要求的定价方案的数量。由于答案可能较大，你只需要求出答案对 $998,244,353$ 取模后的结果。
小 X 的糖果促销策略很成功，现在糖果店只剩下了 $n$ 颗糖果，其中第 $i$ ($1 \le i \le n$) 颗糖果的原价为 $a_i$ 元。小 X 计划将它们全部重新定价，清仓甩卖。具体地，小 X 会将每颗糖果的清仓价格分别定为 1 元或 2 元。设第 $i$ ($1 \le i \le n$) 颗糖果的清仓价格为 $w_i \in \{1,2\}$ 元，则它的**性价比**被定义为原价与清仓价格的比值，即 $\frac{a_i}{w_i}$。
小 R 又带了 $m$ 元钱买糖果。这一次，小 R 希望他购买到的糖果的原价总和最大，于是他采用了以下购买策略：将所有糖果按照**性价比从大到小排序**，然后依次考虑每一颗糖果。具体地，若小 R 在考虑第 $i$ ($1 \le i \le n$) 颗糖果时剩余的钱至少为 $w_i$ 元，则他会购买这颗糖果；否则他会跳过这颗糖果，继续考虑下一颗。特别地，若存在两颗糖果的性价比相同，则小 R 会先考虑**原价较高**的糖果；若存在两颗糖果的性价比与原价均相同，则小 R 会先考虑编号较小的糖果。
例如，若小 X 的糖果商店剩余 3 颗糖果，原价分别为 $a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=5$，而清仓价格分别为 $w_1=w_2=1$，$w_3=2$，则性价比分别为 $1, 3, \frac{5}{2}$。因此小 R 会先考虑第 2 颗糖果，然后考虑第 3 颗糖果，最后考虑第 1 颗糖果。
小 R 想知道，在小 X 的所有 $2^n$ 种定价方案中，有多少种定价方案使得他按照上述购买策略能购买到的糖果的**原价总和最大**。你需要帮助小 R 求出满足要求的定价方案的数量。由于答案可能较大，你只需要求出答案对 $998,244,353$ 取模后的结果。
输入格式
**本题包含多组测试数据。**
输入的第一行包含两个非负整数 $c, t$，分别表示测试点编号与测试数据组数。$c=0$ 表示该测试点为样例。
接下来依次输入每组测试数据，对于每组测试数据：
- 第一行包含两个正整数 $n, m$，分别表示糖果的数量与小 R 的钱数；
- 第二行包含 $n$ 个正整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，分别表示每颗糖果的原价。
输入的第一行包含两个非负整数 $c, t$，分别表示测试点编号与测试数据组数。$c=0$ 表示该测试点为样例。
接下来依次输入每组测试数据，对于每组测试数据：
- 第一行包含两个正整数 $n, m$，分别表示糖果的数量与小 R 的钱数；
- 第二行包含 $n$ 个正整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，分别表示每颗糖果的原价。
输出格式
对于每组测试数据，输出一行一个非负整数，表示使得小 R 购买到的糖果的原价总和达到最大值的定价方案数对 $998,244,353$ 取模后的结果。
输入输出样例
输入 #1
0 1 3 2 1 3 5
输出 #1
6
### 【样例 1 解释】
该样例即为【题目描述】中的例子。共有以下 6 种定价方案使得小 R 购买到的糖果原价总和最大，分别为：
- $w_1 = w_2 = w_3 = 1$，小 R 购买到的糖果原价总和为 8；
- $w_1 = w_3 = 1$，$w_2 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 6；
- $w_1 = 1$，$w_2 = w_3 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 5；
- $w_2 = w_3 = 1$，$w_1 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 8；
- $w_3 = 1$，$w_1 = w_2 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 5；
- $w_1 = w_2 = w_3 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 5。
注意：若 $w_1 = w_2 = 1$，$w_3 = 2$，则小 R 会依次购买第 2 颗和第 1 颗糖果，原价总和为 4，但小 R 只可以购买第 3 颗糖果，原价总和为 5。因此该定价方案无法使小 R 购买到的糖果的原价总和达到最大值。
### 【数据范围】
设 $N$ 为单个测试点内所有测试数据的 $n$ 的和。对于所有测试数据，均有：
- $1 \le t \le 5 \times 10^4$；
- $1 \le n \le 5,000$，$N \le 5 \times 10^4$，$1 \le m \le 2n - 1$；
- 对于所有 $1 \le i \le n$，均有 $1 \le a_i \le 10^9$。
| 测试点编号 | $n \le$ | $N \le$ | $m$ | 特殊性质 |
|:----------:|:--------:|:--------:|:--------------:|:--------:|
| 1～3 | 5 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 4,5 | 10 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 6 | 40 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 7～9 | 300 | 5,000 | $=2$ | 无 |
| 10～12 | 300 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | B |
| 13 | 300 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 14,15 | $10^3$ | $10^4$ | $=2$ | 无 |
| 16 | $10^3$ | $10^4$ | $=2n - 1$ | 无 |
| 17 | $10^3$ | $10^4$ | $=2n - 2$ | 无 |
| 18 | $10^3$ | $10^4$ | $\le 2n - 1$ | A |
| 19,20 | $10^3$ | $10^4$ | $\le 2n - 1$ | B |
| 21～23 | $10^3$ | $10^4$ | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 24,25 | 5,000 | $5 \times 10^4$ | $\le 2n - 1$ | 无 |
特殊性质 A：$a_1 = a_2 = \cdots = a_n$。
特殊性质 B：对于所有 $1 \le i \le n$，均有 $a_i > 5 \times 10^8$。
该样例即为【题目描述】中的例子。共有以下 6 种定价方案使得小 R 购买到的糖果原价总和最大，分别为：
- $w_1 = w_2 = w_3 = 1$，小 R 购买到的糖果原价总和为 8；
- $w_1 = w_3 = 1$，$w_2 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 6；
- $w_1 = 1$，$w_2 = w_3 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 5；
- $w_2 = w_3 = 1$，$w_1 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 8；
- $w_3 = 1$，$w_1 = w_2 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 5；
- $w_1 = w_2 = w_3 = 2$，小 R 购买到的糖果原价总和为 5。
注意：若 $w_1 = w_2 = 1$，$w_3 = 2$，则小 R 会依次购买第 2 颗和第 1 颗糖果，原价总和为 4，但小 R 只可以购买第 3 颗糖果，原价总和为 5。因此该定价方案无法使小 R 购买到的糖果的原价总和达到最大值。
### 【数据范围】
设 $N$ 为单个测试点内所有测试数据的 $n$ 的和。对于所有测试数据，均有：
- $1 \le t \le 5 \times 10^4$；
- $1 \le n \le 5,000$，$N \le 5 \times 10^4$，$1 \le m \le 2n - 1$；
- 对于所有 $1 \le i \le n$，均有 $1 \le a_i \le 10^9$。
| 测试点编号 | $n \le$ | $N \le$ | $m$ | 特殊性质 |
|:----------:|:--------:|:--------:|:--------------:|:--------:|
| 1～3 | 5 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 4,5 | 10 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 6 | 40 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 7～9 | 300 | 5,000 | $=2$ | 无 |
| 10～12 | 300 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | B |
| 13 | 300 | 5,000 | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 14,15 | $10^3$ | $10^4$ | $=2$ | 无 |
| 16 | $10^3$ | $10^4$ | $=2n - 1$ | 无 |
| 17 | $10^3$ | $10^4$ | $=2n - 2$ | 无 |
| 18 | $10^3$ | $10^4$ | $\le 2n - 1$ | A |
| 19,20 | $10^3$ | $10^4$ | $\le 2n - 1$ | B |
| 21～23 | $10^3$ | $10^4$ | $\le 2n - 1$ | 无 |
| 24,25 | 5,000 | $5 \times 10^4$ | $\le 2n - 1$ | 无 |
特殊性质 A：$a_1 = a_2 = \cdots = a_n$。
特殊性质 B：对于所有 $1 \le i \le n$，均有 $a_i > 5 \times 10^8$。
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