A6421. 「USACO 2021.2 Platinum」Counting Graphs
编程题
NOI/NOI+/CTSC
知识点
题目描述
**题目来自 [USACO 2021 February Contest, Platinum](http://usaco.org/index.php?page=feb21results) Problem 3. [Counting Graphs](http://usaco.org/index.php?page=viewproblem2&cpid=1118)。**
Bessie 有一个连通无向图 $G$。$G$ 有 $N$ 个编号为 $1\ldots N$ 的结点，以及 $M$ 条边（$1\le N\le 10^2, N-1\le M\le \frac{N^2+N}{2}$）。$G$ 有可能包含自环（一个结点连到自身的边），但不包含重边（连接同一对结点的多条边）。
令 $f_G(a,b)$ 为一个布尔函数，对于每一个 $1\le a\le N$ 和 $0\le b$，如果存在一条从结点 $1$ 到结点 $a$ 的路径恰好经过了 $b$ 条边，则函数值为真，否则为假。如果一条边被经过了多次，则这条边会被计算相应的次数。
Elsie 想要复制 Bessie。具体地说，她想要构造一个无向图 $G'$，使得对于所有的 $a$ 和 $b$，均有 $f_{G'}(a,b)=f_G(a,b)$。
你的工作是计算 Elsie 可以构造的图 $G'$ 的数量，对 $10^9+7$ 取模。与 $G$ 一样，$G'$ 可以包含自环而不能包含重边（这意味着对于 $N$ 个有标号结点共有 $2^{\frac{N^2+N}{2}}$ 个不同的图）。
每个输入包含 $T$（$1\le T\le \frac{10^5}{4}$）组独立的测试用例。保证所有测试用例中的 $N^2$ 之和不超过 $10^5$。
Bessie 有一个连通无向图 $G$。$G$ 有 $N$ 个编号为 $1\ldots N$ 的结点，以及 $M$ 条边（$1\le N\le 10^2, N-1\le M\le \frac{N^2+N}{2}$）。$G$ 有可能包含自环（一个结点连到自身的边），但不包含重边（连接同一对结点的多条边）。
令 $f_G(a,b)$ 为一个布尔函数，对于每一个 $1\le a\le N$ 和 $0\le b$，如果存在一条从结点 $1$ 到结点 $a$ 的路径恰好经过了 $b$ 条边，则函数值为真，否则为假。如果一条边被经过了多次，则这条边会被计算相应的次数。
Elsie 想要复制 Bessie。具体地说，她想要构造一个无向图 $G'$，使得对于所有的 $a$ 和 $b$，均有 $f_{G'}(a,b)=f_G(a,b)$。
你的工作是计算 Elsie 可以构造的图 $G'$ 的数量，对 $10^9+7$ 取模。与 $G$ 一样，$G'$ 可以包含自环而不能包含重边（这意味着对于 $N$ 个有标号结点共有 $2^{\frac{N^2+N}{2}}$ 个不同的图）。
每个输入包含 $T$（$1\le T\le \frac{10^5}{4}$）组独立的测试用例。保证所有测试用例中的 $N^2$ 之和不超过 $10^5$。
输入格式
输入的第一行包含 $T$，为测试用例的数量。
每个测试用例的第一行包含整数 $N$ 和 $M$。
每个测试用例的以下 $M$ 行每行包含两个整数 $x$ 和 $y$（$1\le x\le y\le N$），表示 $G$ 中存在一条连接 $x$ 与 $y$ 的边。
为提高可读性，相邻的测试用例之间用一个空行隔开。
每个测试用例的第一行包含整数 $N$ 和 $M$。
每个测试用例的以下 $M$ 行每行包含两个整数 $x$ 和 $y$（$1\le x\le y\le N$），表示 $G$ 中存在一条连接 $x$ 与 $y$ 的边。
为提高可读性，相邻的测试用例之间用一个空行隔开。
输出格式
对每个测试用例，输出一行，为不同的 $G'$ 的数量，对 $10^9+7$ 取模。
输入输出样例
输入 #1
1 5 4 1 2 2 3 1 4 3 5
输出 #1
3
输入 #2
7 4 6 1 2 2 3 3 4 1 3 2 4 1 4 5 5 1 2 2 3 3 4 4 5 1 5 5 7 1 2 1 3 1 5 2 4 3 3 3 4 4 5 6 6 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 6 7 1 2 2 3 1 3 1 4 4 5 5 6 1 6 10 10 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 22 28 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 1 7 1 8 3 9 8 10 10 11 10 12 10 13 10 14 11 15 12 16 13 17 14 18 9 15 9 16 9 17 9 18 15 19 19 20 15 20 16 21 21 22 16 22
输出 #2
45 35 11 1 15 371842544 256838540
说明/提示
- 测试点 $3$ 的所有测试用例满足 $N\le 5$。
- 测试点 $4\sim 5$ 的所有测试用例满足 $M=N-1$。
- 测试点 $6\sim 11$ 的所有测试用例中，如果并非对于所有的 $b$ 均有 $f_G(x,b)=f_G(y,b)$，则存在 $b$ 使得 $f_G(x,b)$ 为真且 $f_G(y,b)$ 为假。
- 测试点 $12\sim 20$ 中的测试用例没有额外限制。
- 测试点 $4\sim 5$ 的所有测试用例满足 $M=N-1$。
- 测试点 $6\sim 11$ 的所有测试用例中，如果并非对于所有的 $b$ 均有 $f_G(x,b)=f_G(y,b)$，则存在 $b$ 使得 $f_G(x,b)$ 为真且 $f_G(y,b)$ 为假。
- 测试点 $12\sim 20$ 中的测试用例没有额外限制。