A6076 | 「CQOI2018」破解 D-H 协议

Diffie-Hellman 密钥交换协议是一种简单有效的密钥交换方法。它可以让通讯双方在没有事先约定密钥（密码）的情况下，通过不安全的信道（可能被窃听）建立一个安全的密钥 $K$，用于加密之后的通讯内容。

假定通讯双方名为 Alice 和 Bob，协议的工作过程描述如下（其中 $\bmod$ 表示取模运算）：

1. 协议规定一个固定的质数 $P$，以及模 $P$ 的一个原根 $g$。$P$ 和 $g$ 的数值都是公开的，无需保密。
2. Alice 生成一个随机数 $a$，并计算 $A=g^a\bmod P$，将 $A$ 通过不安全信道发送给 Bob。
3. Bob 生成一个随机数 $b$，并计算 $B=g^b\bmod P$，将 $B$ 通过不安全信道发送给 Alice。
4. Bob 根据收到的 $A$ 计算出 $K=A^b\bmod P$，而 Alice 根据收到的 $B$ 计算出 $K=B^a\bmod P$。
5. 双方得到了相同的 $K$，即 $g^{ab}\bmod P$。$K$ 可以用于之后通讯的加密密钥。

可见，这个过程中可能被窃听的只有 $A,B$，而 $a,b,K$ 是保密的。并且根据 $A,B,P,g$ 这 $4$ 个数，不能轻易计算出 $K$，因此 $K$ 可以作为一个安全的密钥。

当然安全是相对的，该协议的安全性取决于数值的大小，通常 $a,b,P$ 都选取数百位以上的大整数以避免被破解。然而如果 Alice 和 Bob 编程时偷懒，为了避免实现大数运算，选择的数值都小于 $2^{31}$，那么破解他们的密钥就比较容易了。

第一行包含两个空格分开的正整数 $g$ 和 $P$。

第二行为一个正整数 $n$，表示 Alice 和 Bob 共进行了 $n$ 次连接（即运行了 $n$ 次协议）。

接下来 $n$ 行，每行包含两个空格分开的正整数 $A$ 和 $B$，表示某次连接中，被窃听的 $A,B$ 数值。

输出包含 $n$ 行，每行一个正整数 $K$，为每次连接你破解得到的密钥。