A5887 | 「NOI2019」斗主地
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题目描述
小 S 在和小 F 玩一个叫「斗地主」的游戏。
可怜的小 S 发现自己打牌并打不过小 F，所以他想要在洗牌环节动动手脚。
一副牌一共有 $n$ 张牌，从上到下依次标号为 $1 \sim n$。标号为 $i$ 的牌**分数**是 $f (i)$。在本题，$f (i)$ 有且仅有两种可能：$f (i) = i$ 或 $f (i) = i^2$。
洗牌的方式和我们日常生活中的比较类似，以下我们用形式化的语言来定义：
洗牌环节一共分 $m$ 轮，这 $m$ 轮洗牌依次进行。第 $i$ 轮洗牌时：
1. 小 S 会拿出从最上面往下数的前 $A_i$ 张牌。这样这副牌就被分成了两堆：第一堆是最上面的 $A_i$ 张牌，第二堆是剩下的 $n − A_i$ 张牌，且这两堆牌内相对顺序不变。特别地，当 $A_i = n$ 或 $A_i = 0$ 时，有一堆牌是空的。
2. 接下来对两堆牌进行合并，从而产生新的第三堆牌。当第一堆牌还剩下 $X$ 张，第二堆牌还剩下 $Y$ 张的时候，以 $\frac{X}{X+Y}$ 的概率取出第一堆牌的最下面的牌，并将它放入新的第三堆牌的最上面，$\frac{Y}{X+Y}$ 的概率取出第二堆牌的最下面的牌，并将它放入新的第三堆牌的最上面。
3. 重复操作 2，一直取到两堆牌都为空为止。这样我们就完成了一轮洗牌。
因为洗牌过程是随机的，所以小 S 发现自己没法知道某个位置上具体是哪张牌。但小 S 想问你在经历了这 $m$ 轮洗牌后，某个位置上的牌的**期望分数**是多少。小 S 一共会问你 $Q$ 个这样的问题。
可怜的小 S 发现自己打牌并打不过小 F，所以他想要在洗牌环节动动手脚。
一副牌一共有 $n$ 张牌，从上到下依次标号为 $1 \sim n$。标号为 $i$ 的牌**分数**是 $f (i)$。在本题，$f (i)$ 有且仅有两种可能：$f (i) = i$ 或 $f (i) = i^2$。
洗牌的方式和我们日常生活中的比较类似，以下我们用形式化的语言来定义：
洗牌环节一共分 $m$ 轮，这 $m$ 轮洗牌依次进行。第 $i$ 轮洗牌时：
1. 小 S 会拿出从最上面往下数的前 $A_i$ 张牌。这样这副牌就被分成了两堆：第一堆是最上面的 $A_i$ 张牌，第二堆是剩下的 $n − A_i$ 张牌，且这两堆牌内相对顺序不变。特别地，当 $A_i = n$ 或 $A_i = 0$ 时，有一堆牌是空的。
2. 接下来对两堆牌进行合并，从而产生新的第三堆牌。当第一堆牌还剩下 $X$ 张，第二堆牌还剩下 $Y$ 张的时候，以 $\frac{X}{X+Y}$ 的概率取出第一堆牌的最下面的牌，并将它放入新的第三堆牌的最上面，$\frac{Y}{X+Y}$ 的概率取出第二堆牌的最下面的牌，并将它放入新的第三堆牌的最上面。
3. 重复操作 2，一直取到两堆牌都为空为止。这样我们就完成了一轮洗牌。
因为洗牌过程是随机的，所以小 S 发现自己没法知道某个位置上具体是哪张牌。但小 S 想问你在经历了这 $m$ 轮洗牌后，某个位置上的牌的**期望分数**是多少。小 S 一共会问你 $Q$ 个这样的问题。
输入格式
从文件
输入的第一行包含三个正整数 $n, m, \text{type}$，分别表示牌的数量，洗牌的轮数与 $f (i)$ 的类型。当 $\text{type} = 1$ 时，$f (i) = i$。当 $\text{type} = 2$ 时，$f (i) = i^2$。
接下来一行，一共 $m$ 个整数，表示 $A_1 \sim A_m$。
接下来一行一个正整数 $Q$，表示小 S 的询问个数。
接下来 $Q$ 行，每行一个正整数 $c_i$，表示小 S 想要知道从上往下第 $c_i$ 个位置上的牌的**期望分数**。保证 $1 \le c_i \le n$。
landlords.in 中读入数据。输入的第一行包含三个正整数 $n, m, \text{type}$，分别表示牌的数量，洗牌的轮数与 $f (i)$ 的类型。当 $\text{type} = 1$ 时，$f (i) = i$。当 $\text{type} = 2$ 时，$f (i) = i^2$。
接下来一行，一共 $m$ 个整数，表示 $A_1 \sim A_m$。
接下来一行一个正整数 $Q$，表示小 S 的询问个数。
接下来 $Q$ 行，每行一个正整数 $c_i$，表示小 S 想要知道从上往下第 $c_i$ 个位置上的牌的**期望分数**。保证 $1 \le c_i \le n$。
输出格式
输出到文件
输出一共 $Q$ 行，每行一个整数，表示答案在模 $998244353$ 意义下的取值。
即设答案化为最简分式后的形式为 $\frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 互质。输出整数 $x$ 使得 $bx \equiv a\ (\text{mod}\ 998244353)$ 且 $0 \le x < 998244353$。可以证明这样的整数 $x$ 是唯一的。
landlords.out 中。输出一共 $Q$ 行，每行一个整数，表示答案在模 $998244353$ 意义下的取值。
即设答案化为最简分式后的形式为 $\frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 互质。输出整数 $x$ 使得 $bx \equiv a\ (\text{mod}\ 998244353)$ 且 $0 \le x < 998244353$。可以证明这样的整数 $x$ 是唯一的。
输入输出样例
输入 #1
4 1 1 3 1 1
输出 #1
249561090
对于所有的测试点：$3 \le n \le 10^7 , 1 \le m, Q \le 5 \times 10^5 , 0 \le A_i \le n , \text{type} \in \{1, 2\}$。
每个测试点的具体限制见下表：
| 测试点编号 | $n$ | $m$ | $\text{type}=$ | 其他性质 |
| :--------: | :-------: | :------------: | :------------: | :---------------: |
| $1$ | $\le 10$ | $\le 1$ | $1$ | 无 |
| $2$ | $\le 80$ | $\le 80$<!-- 235 --> | $1$ | 无 |
| $3$ | $\le 80$<!-- 233 --> | $\le 80$<!-- 234 --> | $2$ | 无 |
| $4$ | $\le 100$ | $5\times 10^5$ | $2$ | 所有 $A_i$ 均相同 |
| $5$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $1$ | 无 |
| $6$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $1$ | 无 |
| $7$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $1$ | 无 |
| $8$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $2$ | 无 |
| $9$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $2$ | 无 |
| $10$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $2$ | 无 |
请注意我们**并没有保证** $Q \le n$。
这里我们给出离散型随机变量 $X$ 的期望 $\mathbb{E}[x]$ 的定义：
设离散随机变量 $X$ 的可能值是 $X_1, X_2, \ldots , X_k$，$\text{Pr}[X_1], \text{Pr}[X_2], \ldots , \text{Pr}[X_k]$ 为 $X$ 取对应值的概率。则 $X$ 的期望为
$$ \mathbb{E}[x]=\sum_{i=1}^k X_i\text{Pr}[X_i] $$
每个测试点的具体限制见下表：
| 测试点编号 | $n$ | $m$ | $\text{type}=$ | 其他性质 |
| :--------: | :-------: | :------------: | :------------: | :---------------: |
| $1$ | $\le 10$ | $\le 1$ | $1$ | 无 |
| $2$ | $\le 80$ | $\le 80$<!-- 235 --> | $1$ | 无 |
| $3$ | $\le 80$<!-- 233 --> | $\le 80$<!-- 234 --> | $2$ | 无 |
| $4$ | $\le 100$ | $5\times 10^5$ | $2$ | 所有 $A_i$ 均相同 |
| $5$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $1$ | 无 |
| $6$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $1$ | 无 |
| $7$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $1$ | 无 |
| $8$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $2$ | 无 |
| $9$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $2$ | 无 |
| $10$ | $10^7$ | $5\times 10^5$ | $2$ | 无 |
请注意我们**并没有保证** $Q \le n$。
这里我们给出离散型随机变量 $X$ 的期望 $\mathbb{E}[x]$ 的定义：
设离散随机变量 $X$ 的可能值是 $X_1, X_2, \ldots , X_k$，$\text{Pr}[X_1], \text{Pr}[X_2], \ldots , \text{Pr}[X_k]$ 为 $X$ 取对应值的概率。则 $X$ 的期望为
$$ \mathbb{E}[x]=\sum_{i=1}^k X_i\text{Pr}[X_i] $$
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