A41054. 2^k进制数
填空题
较难
知识点
题目描述
2^k进制数
题目描述
设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：
（1）r至少是个2位的2^k 进制数。
（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。
在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k〈w≤30000）是事先给定的。
问：满足上述条件的不同的r共有多少个？
我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。
例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（2^3=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：
2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。
3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。
所以，满足要求的r共有36个。
输入格式
只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
k w
输出格式
1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。
（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）
样例输入
3 7
样例输出
36
参考答案
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
long C(int n,int m) //C(n-1)(m)计算排列数，其中n为最大数值+1（进制），m为当前位置
{
int i;
long sum=1;
for(i=1;i<=m;i++)
sum*=(n-i);
for(i=2;i<=m;i++)
sum=sum/i;
return sum;
}
int main()
{
long sum=0; //sum用于计算符合的总数
int k,w,max,wei,high,i; //max为X进制,wei为位数,high为最高位能取得的最大数,i循环用
scanf("%d%d",&k,&w);
max=pow(2,k);
wei=w/k+1; //设w不能除尽k,所以设多一位
high=pow(2,w%k)-1; //假设w能除尽k,最高位high能取得的最大数为0
if(max-wei<high)
high=max-wei; //high既小于二进制余出来的位数所能得到的最大数又小于X进制减位数
for(i=2;i<wei;i++) //从第二位开始(从右往左),对每一位数(除最高位)计算排列数
sum+=C(max,i);
if(high!=0)
sum+=(C(max,wei)-C(max-high,wei)); //计算最高位的排列数
printf("%ld",sum);
return 0;
}
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