A40908. 车轮轴迹栋栋每天骑自行车回家需要经过一条狭长的林荫道。道路由于年久失修，变得非常不平整。虽然栋栋每次都很颠簸，但他仍把骑车经过林荫道当成一种乐趣。由于颠簸，栋栋骑车回家的路径是一条上下起伏的曲线，栋栋想知道，他回家的这条曲线的长度究竟是多长呢？更准确的，栋栋想知道从林荫道的起点到林荫道的终点，他的车前轮的轴（圆心）经过的路径的长度。栋栋对路面进行了测量。他把道路简化成一条条长短不等的直线段，这些…
题目描述
车轮轴迹
栋栋每天骑自行车回家需要经过一条狭长的林荫道。道路由于年久失修，变得非常不平整。虽然栋栋每次都很颠簸，但他仍把骑车经过林荫道当成一种乐趣。
由于颠簸，栋栋骑车回家的路径是一条上下起伏的曲线，栋栋想知道，他回家的这条曲线的长度究竟是多长呢？更准确的，栋栋想知道从林荫道的起点到林荫道的终点，他的车前轮的轴（圆心）经过的路径的长度。
栋栋对路面进行了测量。他把道路简化成一条条长短不等的直线段，这些直线段首尾相连，且位于同一平面内。并在该平面内建立了一个直角坐标系，把所有线段的端点坐标都计算好。
假设栋栋的自行车在行进的过程中前轮一直是贴着路面前进的。
上图给出了一个简单的路面的例子，其中蓝色实线为路面，红色虚线为车轮轴经过的路径。在这个例子中，栋栋的前轮轴从A点出发，水平走到B点，然后绕着 地面的F点到C点（绕出一个圆弧），再沿直线下坡到D点，最后水平走到E点，在这个图中地面的坐标依次为：(0, 0), (2, 0), (4, -1), (6, -1)，前轮半径为1.50，前轮轴前进的距离依次为：
AB=2.0000；弧长BC=0.6955；CD=1.8820；DE=1.6459。
总长度为6.2233。
下图给出了一个较为复杂的路面的例子，在这个例子中，车轮在第一个下坡还没下完时（D点）就开始上坡了，之后在坡的顶点要从E绕一个较大的圆弧到F点。这个图中前轮的半径为1，每一段的长度依次为：
AB=3.0000；弧长BC=0.9828；CD=1.1913；DE=2.6848；弧长EF=2.6224； FG=2.4415；GH=2.2792。
总长度为15.2021。
现在给出了车轮的半径和路面的描述，请求出车轮轴轨迹的总长度。
样例说明
这个样例对应第一个图。
输入格式
输入的第一行包含一个整数n和一个实数r，用一个空格分隔，表示描述路面的坐标点数和车轮的半径。
接下来n行，每个包含两个实数，其中第i行的两个实数x[i], y[i]表示描述路面的第i个点的坐标。
路面定义为所有路面坐标点顺次连接起来的折线。给定的路面的一定满足以下性质：
*第一个坐标点一定是(0, 0)；
*第一个点和第二个点的纵坐标相同；
*倒数第一个点和倒数第二个点的纵坐标相同；
*第一个点和第二个点的距离不少于车轮半径；
*倒数第一个点和倒数第二个点的的距离不少于车轮半径；
*后一个坐标点的横坐标大于前一个坐标点的横坐标，即对于所有的i，x[i+1]> x[i]。
数据规模和约定
对于100%的数据，4≤n≤100，0.5≤r≤20.0，x[i] ≤2000.0，-2000.0≤y[i] ≤2000.0。
输出格式
输出一个实数，四舍五入保留两个小数，表示车轮轴经过的总长度。
你的结果必须和参考答案一模一样才能得分。数据保证答案精确值的小数点后第三位不是4或5。
样例输入
4 1.50
0.00 0.00
2.00 0.00
4.00 -1.00
6.00 -1.00
样例输出
6.22
参考答案
见编程解析答案解析
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 10000;
const double PI = atan(1.0) * 4;
const double EPS = 1e-10;
class Point {
public:
double x, y;
Point() {}
Point(double x, double y) : x(x), y(y) {}
Point operator - (const Point &r) const { return Point(x-r.x, y-r.y); }
Point operator + (const Point &r) const { return Point(x+r.x, y+r.y); }
Point &operator += (const Point &r) { x += r.x; y += r.y; return *this; }
Point &operator *= (double m) { x *= m; y *= m; return *this; }
Point pOfRotate(double angle) const {
double cosA = cos(angle);
double sinA = sin(angle);
return Point(cosA*x-sinA*y, sinA*x+cosA*y);
}
Point pOfRotate90() const { return Point(-y, x); }
double length() const { return sqrt(x*x+y*y); }
Point pOfNormal() const {
double len = length();
return Point(x/len, y/len);
}
double angle() const { return atan2(y, x); }
};
ostream & operator <<(ostream &os, const Point &v)
{
os << "(" << v.x << "," << v.y << ")";
return os;
}
class Segment;
class Circle;
class Seg {
public:
virtual double getLeft() const = 0;
virtual double getRight() const = 0;
virtual double getY(double x) const = 0;
virtual double getLength(double x1, double x2) const = 0;
virtual void intersect(Seg *r) const = 0;
virtual void intersect(const Segment &v) const = 0;
virtual void intersect(const Circle &v) const = 0;
bool contains(double x) const { return x>=getLeft() && x<=getRight(); }
virtual void acceptPrint(ostream &os) const = 0;
};
ostream & operator <<(ostream &os, const Seg &v)
{
v.acceptPrint(os);
return os;
}
Point intersectRet[4];
int tIntersectRet;
class Segment : public Seg {
public:
Point a, b;
Segment &moveLeft(double dis)
{
Point tmp = ((b-a).pOfRotate90().pOfNormal() *= dis);
a += tmp;
b += tmp;
return *this;
}
virtual double getLeft() const { return a.x; }
virtual double getRight() const { return b.x; }
virtual double getY(double x) const {
return (x-a.x)*(b.y-a.y)/(b.x-a.x)+a.y;
}
virtual double getLength(double x1, double x2) const {
return (x2-x1) * (b-a).length() / (b.x-a.x);
}
virtual void intersect(Seg *r) const {
r->intersect(*this);
}
virtual void intersect(const Segment &v) const {
tIntersectRet = 0;
double ang = (b-a).angle();
Point c = (v.a-a).pOfRotate(-ang);
Point d = (v.b-a).pOfRotate(-ang);
// Bug
//double di = b.length();
double di = (b-a).length();
if (!((c.y>0&&d.y<0) || (c.y<0&&d.y>0)))
return ;
double x = (d.x-c.x) * (-c.y) / (d.y-c.y) + c.x;
if (x<0 || x>di)
return ;
Point ret = Point(x,0).pOfRotate(ang)+a;
intersectRet[tIntersectRet++] = ret;
}
virtual void intersect(const Circle &v) const;
virtual void acceptPrint(ostream &os) const {
os << a << "-" << b;
}
};
class Circle : public Seg {
public:
Point c;
double r;
virtual double getLeft() const { return c.x - r; }
virtual double getRight() const { return c.x + r; }
virtual double getY(double x) const {
double y2 = r * r - (c.x - x) * (c.x - x);
if (y2<0) y2 = 0;
return c.y + sqrt(y2);
}
virtual double getLength(double x1, double x2) const {
x1 -= c.x; x2 -= c.x;
double a1 = Point(x1, sqrt(abs(r*r-x1*x1))).angle(), a2 = Point(x2, sqrt(abs(r*r-x2*x2))).angle();
return (a1-a2) * r;
}
virtual void intersect(Seg *r) const {
r->intersect(*this);
}
virtual void intersect(const Segment &v) const {
tIntersectRet = 0;
Point a = v.a - c;
Point b = v.b - c;
double ang = (b-a).angle();
Point nA = a.pOfRotate(-ang);
Point nB = b.pOfRotate(-ang);
double y = nA.y;
if (y>r || y<-r)
return ;
double x = sqrt(r*r - y*y);
if (x>=nA.x && x<=nB.x)
intersectRet[tIntersectRet++] = Point(x, y).pOfRotate(ang) + c;
if (-x>=nA.x && -x<=nB.x)
intersectRet[tIntersectRet++] = Point(-x, y).pOfRotate(ang) + c;
}
virtual void intersect(const Circle &v) const {
tIntersectRet = 0;
Point p = v.c - c;
double d = p.length();
if (d > r + v.r || d==0)
return ;
double x = (r*r - v.r*v.r + d*d) / (2*d);
if (x <= r)
{
double y = sqrt(abs(r*r - x*x));
double ang = p.angle();
intersectRet[tIntersectRet++] = Point(x,y).pOfRotate(ang) + c;
intersectRet[tIntersectRet++] = Point(x,-y).pOfRotate(ang) + c;
}
}
virtual void acceptPrint(ostream &os) const {
os << c << "," << r;
}
};
void Segment::intersect(const Circle &v) const {
v.intersect(*this);
}
int n;
Point inps[MAXN];
vector<Seg *> segs;
vector<double> spes;
double radius = 1;
void input()
{
scanf("%d%lf", &n, &radius);
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
double x, y;
scanf("%lf%lf", &x, &y);
inps[i] = Point(x, y);
}
}
void process()
{
segs.clear();
spes.clear();
for (int i = 1; i + 1 < n; ++i)
{
Circle *tmp = new Circle;
tmp->c = inps[i];
tmp->r = radius;
segs.push_back(tmp);
}
for (int i = 0; i + 1 < n; ++i)
{
Segment *tmp = new Segment;
tmp->a = inps[i];
tmp->b = inps[i+1];
tmp->moveLeft(radius);
segs.push_back(tmp);
}
for (int i = 0; i < (int)segs.size(); ++i)
{
spes.push_back(segs[i]->getLeft());
spes.push_back(segs[i]->getRight());
}
for (int i = 0; i < (int)segs.size(); ++i)
{
for (int j = i+1; j < (int)segs.size(); ++j)
{
segs[i]->intersect(segs[j]);
if (tIntersectRet > 0)
{
for (int id = 0; id < tIntersectRet; ++id)
{
//cout << *segs[i] << " " << *segs[j] << " : " << intersectRet[id] << endl;
spes.push_back(intersectRet[id].x);
}
}
}
}
sort(spes.begin(), spes.end());
double pre = spes[0];
const double NONE = 1e30;
double preEnd = NONE;
double totalLen = 0;
for (int i = 1; i < (int)spes.size(); ++i)
{
if (spes[i]-pre < EPS)
continue;
double cur = (pre+spes[i]) / 2;
//cout << "Processing " << cur << " from " << pre << " to " << spes[i] << endl;
if (cur>=inps[0].x && cur<=inps[n-1].x)
{
double MY = -NONE;
int who;
for (int j = 0; j < (int)segs.size(); ++j)
{
if (!segs[j]->contains(cur))
continue;
double y = segs[j]->getY(cur);
if (y > MY)
{
MY = y;
who = j;
}
}
if (preEnd != NONE)
{
double LY = segs[who]->getY(pre);
//cout << "Drop info " << *segs[who] << " " << "[" << pre << "]" << endl;
totalLen += abs(preEnd-LY);
//cout << "Pre drop = " << abs(preEnd-LY) << " from " << preEnd << " to " << LY << endl;
}
double len = segs[who]->getLength(pre, spes[i]);
if (len < 0)
printf("Error!\n");
//cout << "Curlen = " << len << " from " << pre << " to " << spes[i] << endl;
totalLen += len;
preEnd = segs[who]->getY(spes[i]);
}
pre = spes[i];
}
printf("%0.2lf\n", totalLen);
for (int i = 0; i < (int)segs.size(); ++i)
delete segs[i];
segs.clear();
}
int main()
{
input();
process();
return 0;
}