A2276. XOR和路径
编程题
省选/NOI-
知识点
题目描述
给定一个无向连通图，其节点编号为 $1$ 到 $N$，其边的权值为非负整数。试求出一条从 $1$ 号节点到 $N$ 号节点的路径，使得该路径上经过的边的权值的“XOR 和”最大。该路径可以重复经过某些节点或边，当一条边在路径中出现多次时，其权值在计算“XOR 和”时也要被重复计算相应多的次数。
直接求解上述问题比较困难，于是你决定使用非完美算法。具体来说，从 $1$ 号节点开始，以相等的概率，随机选择与当前节点相关联的某条边，并沿这条边走到下一个节点，重复这个过程，直到走到 $N$ 号节点为止，便得到一条从 $1$ 号节点到 $N$ 号节点的路径。显然得到每条这样的路径的概率是不同的并且每条这样的路径的“XOR 和”也不一样。现在请你求出该算法得到的路径的“XOR 和”的期望值。
直接求解上述问题比较困难，于是你决定使用非完美算法。具体来说，从 $1$ 号节点开始，以相等的概率，随机选择与当前节点相关联的某条边，并沿这条边走到下一个节点，重复这个过程，直到走到 $N$ 号节点为止，便得到一条从 $1$ 号节点到 $N$ 号节点的路径。显然得到每条这样的路径的概率是不同的并且每条这样的路径的“XOR 和”也不一样。现在请你求出该算法得到的路径的“XOR 和”的期望值。
输入格式
输入文件的第一行是用空格隔开的两个正整数 $N$ 和 $M$，分别表示该图的节点数和边数。紧接着的 $M$ 行，每行是用空格隔开的三个非负整数 $u,v$ 和 $w$。$(1\le u,v\le N$，$0\le w\le 10^9)$，表示该图的一条边 $(u,v)$，其权值为 $w$。输入的数据保证图连通。
输出格式
输出文件仅包含一个实数，表示上述算法得到的路径的“XOR 和”的期望值，要求保留三位小数。（建议使用精度较高的数据类型进行计算）
输入输出样例
输入 #1
2 2 1 1 2 1 2 3
输出 #1
2.333
说明/提示
### 样例解释
有 $\dfrac{1}{2}$ 的概率直接从 $1$ 号节点走到 $2$ 号节点，该路径的“XOR和”为 $3$；有 $\dfrac{1}{4}$ 的概率从 $1$ 号节点走一次 $1$ 号节点的自环后走到 $2$ 号节点，该路径的“XOR和”为 $1$；有 $\dfrac{1}{8}$ 的概率从 $1$ 号节点走两次 $1$ 号节点的自环后走到 $2$ 号节点，该路径的“XOR和”为 $3$…依此类推，可知“XOR和”的期望值为：$\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{32}+\cdots=\dfrac{7}{3}$，约等于 $2.333$。
### 数据范围
- $30\%$ 的数据满足 $N\le 30$。
- $100\%$ 的数据满足 $2\le N\le 100$，$M\le 10000$，但是图中可能有重边或自环。
有 $\dfrac{1}{2}$ 的概率直接从 $1$ 号节点走到 $2$ 号节点，该路径的“XOR和”为 $3$；有 $\dfrac{1}{4}$ 的概率从 $1$ 号节点走一次 $1$ 号节点的自环后走到 $2$ 号节点，该路径的“XOR和”为 $1$；有 $\dfrac{1}{8}$ 的概率从 $1$ 号节点走两次 $1$ 号节点的自环后走到 $2$ 号节点，该路径的“XOR和”为 $3$…依此类推，可知“XOR和”的期望值为：$\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{32}+\cdots=\dfrac{7}{3}$，约等于 $2.333$。
### 数据范围
- $30\%$ 的数据满足 $N\le 30$。
- $100\%$ 的数据满足 $2\le N\le 100$，$M\le 10000$，但是图中可能有重边或自环。