A16849 | Monotone Monochrome Matrices (Hard Version)
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题目描述
这是该问题的难度提升版。在本版本中，$n$ 和 $q$ 的限制非常大。仅当你已经解决了该问题的所有版本，才可以 hack。
一个大小为 $n \times n$ 的单色矩阵是一个有 $n$ 行 $n$ 列的矩阵，其中每个格子不是黑色就是白色。我们用 $C[r,c]$ 表示单色矩阵 $C$ 的第 $r$ 行第 $c$ 列的格子的颜色。
我们称这样的矩阵 $C$ 为“单调”，当且仅当它满足以下的条件：
- 不存在两行 $1 \le i < j \le n$ 和两列 $1 \le k < l \le n$，同时满足下列三个条件：
- $C[i,k]=C[j,l]$；
- $C[j,k]=C[i,l]$；
- $C[i,k] \neq C[j,k]$。
现有一个大小为 $n \times n$ 的单色矩阵 $M$，一开始所有格子均为白色。请处理 $q$ 个如下操作：
- $r\;c$：将 $M$ 中第 $r$ 行第 $c$ 列的格子染成黑色。之后，判断 $M$ 是否为单调矩阵。
请注意操作是“持续性的”，即一次操作染色后的矩阵会影响后续所有操作。
对于每个操作，保证操作执行前格子 $(r,c)$ 仍为白色。
请注意，只有你解决了该题所有难度版本后，才可以 hack 此题。
一个大小为 $n \times n$ 的单色矩阵是一个有 $n$ 行 $n$ 列的矩阵，其中每个格子不是黑色就是白色。我们用 $C[r,c]$ 表示单色矩阵 $C$ 的第 $r$ 行第 $c$ 列的格子的颜色。
我们称这样的矩阵 $C$ 为“单调”，当且仅当它满足以下的条件：
- 不存在两行 $1 \le i < j \le n$ 和两列 $1 \le k < l \le n$，同时满足下列三个条件：
- $C[i,k]=C[j,l]$；
- $C[j,k]=C[i,l]$；
- $C[i,k] \neq C[j,k]$。
现有一个大小为 $n \times n$ 的单色矩阵 $M$，一开始所有格子均为白色。请处理 $q$ 个如下操作：
- $r\;c$：将 $M$ 中第 $r$ 行第 $c$ 列的格子染成黑色。之后，判断 $M$ 是否为单调矩阵。
请注意操作是“持续性的”，即一次操作染色后的矩阵会影响后续所有操作。
对于每个操作，保证操作执行前格子 $(r,c)$ 仍为白色。
请注意，只有你解决了该题所有难度版本后，才可以 hack 此题。
输入格式
每个测试点包含多组数据。第一行包含测试组数 $t$（$1 \le t \le 10^3$）。每组数据描述如下。
每组数据第一行包含两个整数 $n$ 和 $q$（$2 \le n \le \color{red}{2\,000\,000}$，$1 \le q \le \min(n^2,\color{red}{2\,000\,000})$）。
接下来 $q$ 行，每行包含两个整数 $r_i$, $c_i$，表示第 $i$ 次操作（$1 \le r_i,c_i \le n$）。
对于每个操作，保证在操作执行前，$(r,c)$ 仍为白色。
保证所有测试数据中 $n$ 的总和不超过 $\color{red}{2\,000\,000}$。
保证所有测试数据中 $q$ 的总和不超过 $\color{red}{2\,000\,000}$。
每组数据第一行包含两个整数 $n$ 和 $q$（$2 \le n \le \color{red}{2\,000\,000}$，$1 \le q \le \min(n^2,\color{red}{2\,000\,000})$）。
接下来 $q$ 行，每行包含两个整数 $r_i$, $c_i$，表示第 $i$ 次操作（$1 \le r_i,c_i \le n$）。
对于每个操作，保证在操作执行前，$(r,c)$ 仍为白色。
保证所有测试数据中 $n$ 的总和不超过 $\color{red}{2\,000\,000}$。
保证所有测试数据中 $q$ 的总和不超过 $\color{red}{2\,000\,000}$。
输出格式
对于每个操作，输出一行 “YES” 或 “NO”（不区分大小写），表示操作后的矩阵是否为单调矩阵。
你可以任选大小写输出答案。例如 "yEs"、"yes"、"Yes" 都会被识别为肯定答案。
你可以任选大小写输出答案。例如 "yEs"、"yes"、"Yes" 都会被识别为肯定答案。
输入输出样例
输入 #1
2 3 9 2 2 3 3 2 3 3 1 3 2 1 1 1 2 2 1 1 3 5 17 2 1 4 5 4 1 3 3 3 1 3 5 1 3 1 5 1 1 5 3 5 5 5 1 1 4 5 2 5 4 1 2 2 5
输出 #1
YES NO YES NO YES NO NO YES YES YES NO YES NO NO YES NO NO YES NO NO YES YES NO YES YES YES
对于第一个测试样例，$M$ 的大小为 $3 \times 3$。每次操作后 $M$ 的状态如下：
$$ \quad\, \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \square & \blacksquare & \square\\ \square & \square & \square \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \square & \color{red}{\blacksquare} & \color{red}{\square}\\ \square & \color{red}{\square} & \color{red}{\blacksquare} \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \square & \blacksquare & \blacksquare\\ \square & \square & \blacksquare \end{bmatrix} \\ \to \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \color{red}{\square} & \color{red}{\blacksquare} & \blacksquare\\ \color{red}{\blacksquare} & \color{red}{\square} & \blacksquare \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \square & \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \color{red}{\blacksquare} & \color{red}{\square} & \square\\ \color{red}{\square} & \color{red}{\blacksquare} & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} \\ \to \begin{bmatrix} \color{red}{\blacksquare} & \blacksquare & \color{red}{\square}\\ \color{red}{\square} & \blacksquare & \color{red}{\blacksquare}\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \square\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} $$
当矩阵 $M$ 不是单调时，标红的四个方格表示出现上述条件中的违规格子。
$$ \quad\, \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \square & \blacksquare & \square\\ \square & \square & \square \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \square & \color{red}{\blacksquare} & \color{red}{\square}\\ \square & \color{red}{\square} & \color{red}{\blacksquare} \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \square & \blacksquare & \blacksquare\\ \square & \square & \blacksquare \end{bmatrix} \\ \to \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \color{red}{\square} & \color{red}{\blacksquare} & \blacksquare\\ \color{red}{\blacksquare} & \color{red}{\square} & \blacksquare \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \square & \square & \square\\ \square & \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \color{red}{\blacksquare} & \color{red}{\square} & \square\\ \color{red}{\square} & \color{red}{\blacksquare} & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} \\ \to \begin{bmatrix} \color{red}{\blacksquare} & \blacksquare & \color{red}{\square}\\ \color{red}{\square} & \blacksquare & \color{red}{\blacksquare}\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \square\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix} $$
当矩阵 $M$ 不是单调时，标红的四个方格表示出现上述条件中的违规格子。
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