A16619 | Xor of Median (Hard Version)

这是该问题的困难版本。本版本与其他版本的区别在于 $t$、$k$ 和 $m$ 的约束更高。只有在你解决了所有版本的问题后，才能进行 hack。

一个长度为 $n$ 的整数序列 $a$ 被称为“好序列”，如果满足以下条件：

- 设 $\text{cnt}_x$ 表示 $x$ 在序列 $a$ 中出现的次数。对于所有满足 $0 \le i < j < m$ 的数对，至少有以下三种情况之一成立：$\text{cnt}_i = 0$，$\text{cnt}_j = 0$，或者 $\text{cnt}_i \le \text{cnt}_j$。换句话说，如果 $i$ 和 $j$ 都在序列 $a$ 中出现，那么 $i$ 的出现次数不超过 $j$ 的出现次数。

给定整数 $n$ 和 $m$。请计算所有长度为 $n$、满足 $0 \le a_i < m$ 的好序列 $a$ 的中位数的按位异或和。

注意，$n$ 的值可能非常大，因此以其二进制表示给出。

$^*$ 序列 $a$ 的中位数定义为其第 $\left\lfloor\frac{n + 1}{2}\right\rfloor$ 小的元素。

每组测试包含多组数据。第一行包含测试用例数 $t$（$1 \le t \le 10^4$）。每组测试数据描述如下。

每组测试数据的第一行包含两个整数 $k$ 和 $m$（$1 \le k \le 2 \times 10^5$，$1 \le m \le 10^9$），分别表示 $n$ 的二进制长度和序列元素的上界。

第二行包含一个长度为 $k$ 的二进制字符串，表示 $n$ 的二进制表示，且没有前导零。

保证所有测试用例的 $k$ 之和不超过 $2 \times 10^5$。

对于每组测试数据，输出一个整数，表示所有长度为 $n$、满足 $0 \le a_i < m$ 的好序列 $a$ 的中位数的按位异或和。