A16499. LCM is Legendary Counting Master

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ 和一个正整数 $m$。序列 $a$ 的每个元素都是 $[0, m]$ 范围内的整数。

当且仅当以下两个条件都满足时，序列 $a$ 被认为是好的：

- $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$；
- $\frac{1}{\operatorname{lcm}(a_1,a_2)}+\frac{1}{\operatorname{lcm}(a_2,a_3)}+\ldots+ \frac{1}{\operatorname{lcm}(a_{n-1},a_n)}+{\color{red}\frac{1}{\operatorname{lcm}(a_n,a_1)}}\ge 1$。$^{\text{∗}}$

你需要将序列 $a$ 中所有的零替换成 $[1, m]$ 范围内的整数。求有多少种不同的替换方式，使得最终的序列 $a$ 是好的。

请输出答案对 $998\,244\,353$ 取模。

$^{\text{∗}}$ 两个正整数的最小公倍数（$\operatorname{lcm}$）是同时被两个数整除的最小正整数。例如，$\operatorname{lcm}(2,3)=6,\, \operatorname{lcm}(4,6)=12$。

每组测试数据包含多组测试用例。第一行为测试用例数 $t$（$1 \le t \le 1000$）。接下来为每组测试用例的描述。

每个测试用例的第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$（$2 \le n \le m \le 3000$）。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$（$0 \le a_i \le m$）。

保证所有测试用例中 $m$ 的总和不超过 $3000$。

对于每个测试用例，输出一个整数——将序列补全并使其变为好序列的方案数，答案对 $998\,244\,353$ 取模。

在第一个测试用例中，有 $2$ 种方式可以替换零，使得序列变为好序列：

- $[1, 2, 3, 6]$：此时和为 $\frac{1}{\operatorname{lcm}(1, 2)} + \frac{1}{\operatorname{lcm}(2, 3)} + \frac{1}{\operatorname{lcm}(3, 6)} + \frac{1}{\operatorname{lcm}(6, 1)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1$。
- $[1, 2, 4, 6]$：此时和为 $\frac{1}{\operatorname{lcm}(1, 2)} + \frac{1}{\operatorname{lcm}(2, 4)} + \frac{1}{\operatorname{lcm}(4, 6)} + \frac{1}{\operatorname{lcm}(6, 1)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = 1$。

在第二个测试用例中，初始序列为 $[2, 1]$。由于 $2 \not< 1$，严格递增的条件不成立，所以答案为 $0$。

在第四个测试用例中，初始序列为 $[0, 0, 6, 0, 0]$，$m=6$，第三个元素是 $6$。由于序列必须严格递增且元素不能超过 $6$，会需要 $6<a_4<a_5\le 6$，这是不可能的。